Mathematik

Mathematische Grundlagen der Schallausbreitung in Gasen

Herrmann HelmholtzDie Kenntnis der mathematischen Grundlagen der Schallausbreitung in Gasen/Flüssigkeiten ist inbesondere für die erfolgreiche Anwendung von numerischen Verfahren erforderlich. Hier führt die Unkenntnis der richtigen Formulierung von Randbedingungen oft zu falschen Analyseergebnissen. Auf die Anwendungen von numerischen Verfahren wird im Kapitel der Simulationsverfahren genauer eingegangen.

Die Schallausbreitung in der gasförmigen Umgebung des Strahlers wird durch die Helmholtzgleichung beschrieben, die von Hermann Helmholtz (siehe Foto) entwickelt wurde. Sie lautet                                            DF + k2 = qF,

oder in der Formulierung mit dem Schalldruck statt des Potentials

Dp + k2 = qp.

Man erhält sie aus der akustischen Wellengleichung, wenn zeitlich harmonische Schwingungen betrachtet werden. Sämtliche weiteren Betrachtungen gehen von einer solchen zeitlichen Erregung der Form e-iw t aus, wobei w die Erregerkreisfrequenz und i die imaginäre Einheit ist. q beschreibt die ortsabhängige Quellstärke  innerhalb des betrachteten Gebietes , und k bezeichnet die Kreiswellenzahl k=w/c. D bezeichnet den Delta-Operator  D:=d2/ d x12 + d2/ d x22 + d2/ d x32. Folgende Randbedingungen können auf den Rändern des Gebietes der Schallausbreitung angegeben werden:

Strahlerränder, Wände:

Bei bekanntem Schalldruck p auf der Strukturoberfläche kann dieser nach F = p/(i r0 c k) in ein Potential F umgerechnet werden. Die normalen Oberflächenschnellen der Struktur bilden die negative normale Ableitung des Potentials

                                        
Potentialableitung

wobei der Normalenvektor n in das Äußere des Luftschallgebietes zeigt. Nabla ist die örtliche Ableitung

 
Nabla-Operator

Im allgemeinen findet man in der maschinenakustischen Praxis als Randbedingungen:

  • Oberflächenschnellen vn als Randbedingung, da diese einfach (mit Beschleunigungsaufnehmern) zu messen sind oder
  • Wandimpedanzen als Quotient aus Druck und Schnelle, was experimentell mittels Absorptionsrohren ermittelt werden kann.

Ränder, die im Unendlichen liegen:
Bei Außenraumproblemen erstreckt sich die Schallausbreitung bis ins Unendliche. Für einen im Unendlichen liegenden äußeren Rand kann eine exakte Randbedingung in Form der  Sommerfeldschen Abstrahlbedingung angegeben werden, die für die betrachteten zeitlich harmonischen Schwingungen

Sommerfeldsche Randbedingung 

lautet.

Helmholtzgleichung in Kugelkoordinaten

Insbesondere bei akustischen Abstrahlproblemen verwendet man die Helmholtzgleichung in Kugelkoordinaten (z.B. für Fernfeldnäherungen), wobei sich der Strahler in der Nähe des Koordinatenursprunges befindet. Das Potential nimmt man als Produkt von Funktionen in die einzelnen Koordinatenrichtungen an:

akustisches Potential in Kugelkoordinaten

Einsetzen in die Helmholtzgleichung ergibt in Kugelkoordinaten

akustische Helmholtzgleichung in Kugelkoordinaten

 

 

Berücksichtigung der Schalldämpfung in Gasen

Eine ebene Welle der Intensität I verliert in realen Gasen in Ausbreitungsrichtung an Intensität. Dies geschieht nach folgender Abhängigkeit:

 
Schallintensität

Intensitätsverlust

Open-Air-Konzert: Schalldämpfung der höheren Frequenzen Bei großen Entfernungen von der Bühne ist bei Open-Air-Konzerten deutlich der Pegelabfall der höheren Frequenzen im Vergleich zu den niedrigeren Frequenzen zu hören, da die Schalldämpfung der höheren Frequenzen größer ist.

Der in der Literatur zu findende Verlustfaktor h des Gases ist proportional zum Dämpfungskoeffzienten b:

 
Dämpfungskoeffizient

Die Einführung einer komplexen Schallgeschwindigkeit c und Kreiswellenzahl k zur Berücksichtung der Dämpfung im Gas macht die Berechnung von akustischen Größen nicht schwieriger. In allen Gleichungen muss nur die reelle Schallgeschwindigkeit c durch ihr komplexes Pendant c ersetzt werden:

 
Kreiswellenzahl, Schallgeschwindigkeit

Die Schalldämpfung in Gasen macht sich in erster Linie bei höheren Frequenzen und bei großen Entfernungen zur Schallquelle bemerkbar: So nimmt man z.B. Flugzeuge in größeren Entfernungen anhand der abgestrahlten tiefen Frequenzen wahr.

Der Einsatz der komplexen Schallgeschwindigkeit c empfiehlt sich z.B. bei frequenzdiskreten Innen- und Aussenraumanalysen mit der Finiten-Elemente-Methode, da es die Genauigkeit der Analyse verbessert, ohne die Analysedauer zu erhöhen (s. "Simulationsverfahren in der Akustik").

 

Verlustfaktor in Luft

Verlustfaktor  in Abhängigkeit von Frequenz und relativer Luftfeuchtigkeit.

Für viele technische Berechnungen ist es einfacher, den Dämpfungsfaktor in dB/m zu kennen. Dieser kann in Abhängigkeit von Temperatur, Frequenz und Luftfeuchtigkeit einem Online-Rechner entnommen werden.

 

Bei der Schallausbreitung in Wasser hängt der Verlustfaktor von Temperatur, Salzgehalt auch vom pH-Wert des Wassers ab. Durch die Klimaerwärmung wird mehr CO2 im Wasser gespeichert, was den pH-Wert verringert. Im Frequenzbereich bis zu 3000 Hz bewirkt eine Absenkung des pH-Wertes von 0,3 eine um 70% vergrößerte Reichweite von Geräuschen (siehe auch Meeresakustik).

 

 

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