Differentialgleichung Rechteckplatte

 

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Differentialgleichung der schwingenden Rechteckplatte

Die Dgl. (Differentialgleichung) der schwingenden homogenen (=glatten) Rechteckplatte lautet:

Differentialgleichung der schwingenden Rechteckplatte

wobei B die Plattensteifigkeit, rho die Plattendichte und h die Plattendicke sind. Für die Plattensteifigkeit gilt dabei

Plattensteifigkeit B

wobei E der Elastizitätmodul und m die Querkontraktionszahl ist.

Annahmen, um analytische Lösungen der Differentialgleichung zu ermöglichen:

  • Gleichseitig gelenkige Lagerung: In den meisten Fällen setzt sich der plattenförmige Bereich über Biegekanten oder nur durch von Wandstärkeänderungen von den anderen Strukturbereichen ab.
  • Bei der Lösung der Differentialgleichung wird im allgemeinen ein über die Frequenz konstanter Verlustfaktor eta angenommen. Diese Annahme muss bei realen Materialien im niedrigen Frequenzbereich für viele Materialien hinterfragt werden (siehe Dämpfungsmodelle).
  • Man entkoppelt die Eingenformen in die Koordinatenrichtungen, in dem man annimmt, dass die Lösungen aus Sinusfunktionen in die jeweiligen Koordinatenrichtungen bestehen:
  • Eigenfunktionen gelenkig gelagerter Rechteckplatten
    Spätestens bei der Betrachtung von numerischen Lösungen von Schwingungen quadratischer Platten (als Sonderfall der Rechteckplatte) wird klar, dass es neben dem angenommenen Lösungsansatz auch noch weitere Lösungen gibt, die sich nicht mehr als geschlossene Lösung darstellen lassen.

Die ungedämpften Eigenkreisfrequenzen dieser Differentialgleichung und den angenommenen Ansatzfunktionen berechnen sich dann zu:

ungedämpfte Eigenkreisfrequenzen gelenkig gelagerte Rechteckplatte
wobei a und b die Seitenlängen der Platte sind. m und n bezeichnen die Anzahl der halben Plattenschwingungen in die jeweilige Koordinatenrichtungen a und b.

 

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