Differentialgleichung Rechteckplatte

 

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Differentialgleichung der schwingenden Rechteckplatte

Die Dgl. (Differentialgleichung) der schwingenden homogenen (=glatten) Rechteckplatte lautet:

Differentialgleichung der schwingenden Rechteckplatte

wobei B die Plattensteifigkeit, rho die Plattendichte und h die Plattendicke sind. Für die Plattensteifigkeit gilt dabei

Plattensteifigkeit B

wobei E der Elastizitätmodul und m die Querkontraktionszahl ist.

Annahmen, um analytische Lösungen der Differentialgleichung zu ermöglichen:

  • Gleichseitig gelenkige Lagerung: In den meisten Fällen setzt sich der plattenförmige Bereich über Biegekanten oder nur durch von Wandstärkeänderungen von den anderen Strukturbereichen ab.
  • Bei der Lösung der Differentialgleichung wird im allgemeinen ein über die Frequenz konstanter Verlustfaktor eta angenommen. Diese Annahme muss bei realen Materialien im niedrigen Frequenzbereich für viele Materialien hinterfragt werden (siehe Dämpfungsmodelle).

Die ungedämpften Eigenkreisfrequenzen dieser Differentialgleichung berechnen sich zu:

ungedämpfte Eigenkreisfrequenzen gelenkig gelagerte Rechteckplatte
wobei a und b die Seitenlängen der Platte sind. m und n bezeichnen die Anzahl der halben Plattenschwingungen in die jeweilige Koordinatenrichtungen a und b.

 

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